Chimica e laboratorio triennio

Prof. TROIANO Sergio

Si vuole calcolare il tempo necessario per il deflusso di una certa quantità di acqua, poniamo 3140 litri, da un foro con diametro di 2 cm, praticato sul fondo di un serbatoio senza coperchio e ad asse verticale, avente diametro di base di 2 metri ed altezza di 3 metri inizialmente riempito a metà.

Il problema, malgrado l'apparente semplicità, è molto complesso e la sua soluzione può essere trovata attraverso l'applicazione dell'equazione di Bernuilli cosa possibile solo introducendo delle semplificazioni.

Il calcolo richiede la risoluzione di un pur semplice integrale definito del tipo x^n*dx e pertanto è necessario avere a disposizione la tabella degli integrali facilmente reperibile in tutti i manuali oltrechè, ovviamente, nei teste di matematica che trattano l'argomento.

Onde evitare confusione è necessario fare il disegno quotato del serbatoio mettendo bene in evibenza il foro sul fondo da cui esce l'acqua ed indicare anche il livello iniziare e finale del pelo libero dell'acqua nel serbatoio.

Identificare con la lettera "c" la sezione contratta che è quella che si trova subito al di sotto del foro di uscita nel fondo del serbatoio e con l'indice "i" la sezione generica che coincide con la posizione del pelo libero dell'acqua in una posizione qualsiasi ma comunque ovviamente compresa tra la minima e la massima.

Calcolare l'area di flusso della sezione "i" e della sezione "c" espresse in mq. Ad esempio facendo riferimento ad un serbatoio a sezione circolare e ad asse verticale avente diametro di 2 metri e con il diametro di uscita sul fondo pari a 2 cm, l'area di flusso della sezione "i" sarebbe Ai=3.14 mq e l'area della sezione contratta "c" Ac=0.000314 mq. In realtà l'area di flusso della sezione contratta è più piccola della sezione geometrica del foro e dipende dal modo in cui è stato fatto e poi rifinito il foro e tutto questo non può essere quantificato in modo certo per via teorica.

Applicare l'equazione di Bernuilli sritta nella forma generale, tra la sezione "i" e la sezione "c" prendendo come piano di riferimento per la misura delle altezze geodetiche proprio la sezione "c", considerando la pressione che agisce sul pelo libero ed anche nella sezione contratta "c" pari a quella atmosferica, trascurando del tutto le perdite di carico ripartite e considerare solo la perdita di carico localizzata in corrispondenza all'uscita dell'acqua dal foro situato sul fondo del serbatoio e dovuta alla brusca riduzione della sezione di flusso che passa repentinamente da Ai a Ac.

hi + 101325/(1000*9.806) +vi^2/(2*9.806) =

hc + 101325/(1000*9.806) +vc^2/(2*9.806) + vc^2/(4*9.806)

da cui, ponendo vi=0 ed hc=0 e semplificando il monomio 101325/(1000*9.806), con semplici passaggi matematici si perviene alla seguente espressione che collega la velocità di efflusso nella sezione contratta all'altezza geodetica del pelo libero dell'acqua nel serbatoio:

vc=2*sqr(h*9.806/3)

Nota la quota del pelo libero all'inizio che come già detto in precedenza è di 1.5 metri e noto il volume di acqua che deve deflire e che è di 3140 litri, la quota del pelo libero alla fine risulta di 0.5 metri essendo l'area di base del serbatoio di 3.140 mq.

Considerare un abbassamento del pelo libero dell'acqua nel serbatoio di dh e di conseguenza il volume di acqua che esce dal serbatoio è

dw = 3.14*dh

Noto il volume di acqua che deve defluire e nota l'espressione della velocità di efflusso, è anche possibile applicare la formula

dw = ac*vc*t

alla sezione contratta "c", sostituendo per semplicicare h ad hi ed esplicitando rispetto a dh si ottiene

dh = 0.000314/3.14*2*sqr(h)*sqr(9.806)/sqr(3) * t

e portando sqr(h) al primo membro

dh/sqr(h) = 0.000314/3.14*2sqr(9.806)/sqr(3) * t

integrando con la variabile h

2*sqr(h) = 0.000314/3.14*2sqr(9.806)/sqr(3) * t

ed integrando con l'integrale definito tra il livello massimo di 1.5 metri e quello minimo di 0.5 metri si ottiene

2*(sqr(1.5)-sqr(0.5)) = 0.000314/3.14*2*sqr(9.806)/sqr(3) * t

da cui si ottiene finalmente il tempo, espresso in secondi, di deflusso dell'acqua che risulta

t = 2863 secondi

In realtà il tempo potrà anche discostarsi in modo rilevante da questo valore in meno se nella costruzione del foro sono stati smussati e raccordati tutti gli spigoli ed in più se gli spigoli vivi e non sono stati completamente asportati i truccioli di lavorazione del trapano.